Alberto Meschi, dont le père s’était suicidé alors qu’il était encore enfant, avait commencé à travailler très tôt sur les chantiers du bâtiment de La Spezia, de Bongo San Donnino (aujourd’hui Fidenza) et de Gênes où il se fixa en mars 1905.
Dès la fin des années 1890 il avait commencé à collaborer à divers organes syndicaux (L’Edilizia) ou antimilitaristes (La Pace édité par Ezio Bartalini ainsi que dans Pro-Coatti (Gênes, octobre-décembre 1899).
Vers 1905 il émigrait en Argentine où il allait résider d’abord à Buenos Aires puis à Mar del Plata où, en 1908, i était signalé par le consulat d’Italie comme fréquentant les principaux anarchistes italiens de Buenos Aires et Mar del Plata. Adhérent à la Fédération ouvrière régionale argentine (FORA), Meschi collabora à cette époque à plusieurs journaux libertaires dont le quotidien La Protesta et le bimensuel antimilitariste Luz del Polidado. Parallèlement il correspondait avec les organes L’alleanza libertaria (Rome, 1908-1911), Battaglia (São Paulo) et Il Libertario (La Spezia, 1903-1922) publié par Pasquale Binazzi. Il intégrait ensuite le commission exécutive de la FORA et la rédaction de l’organe Organisación obrera et son implication dans les luttes ouvrières aboutissait à son expulsion d’Argentine le 26 septembre 1909 suite à l’application d’une loi antianarchiste prise à la suite de l’exécution du chef de la police le colonel Falcon.
Revenu en Italie, il reprenait sa collaboration à Il Libertario, et participait à divers congrès de la région de La Spezia. Puis, en 1911, il s’installait à Carrare où, nommé secrétaire de la Chambre du Travail, il allait considérablement renforcer et développer l’orientation anarcho-syndicaliste du mouvement ouvrier. Entre décembre 1911 et mai 1914, la Chambre du travail passera de 1355 à 12.000 adhérents. Il fut à l’origine en 1912 de l’adhésion de la Chambre du travail de Carrare à l’Union syndicale italienne (USI) dont il avait participé en novembre 1912 au congrès de fondation à Modène. Il fut à la tête de la Chambre du travail de Carrare dont il avait fondé l’organe Il Cavatore, l’organisateur des grandes grèves des ouvriers du marbre (1911, 1912, 1913, 1914).
Pendant la Première Guerre mondiale il défendit une position originale en tentant de maintenir l’organisation syndicale en dehors des conflits entre partisans et adversaires de l’intervention dans la guerre. Appelé sous les drapeaux après l’entrée en guerre de l’Italie, il fut envoyé au front, fut fait prisonnier et interné dans un camp de travail.
Après avoir été libéré, il rentrait en novembre 1918 à Carrare où il s’attelait à la réorganisation de la Chambre du travail et reprenait la publication de Il Cavatore. Il participait alors aux nombreux conflits qui permirent aux ouvriers des carrières d’obtenir la journée de travail de 6 heures. En 1920 il était également le rédacteur responsable du journal anarchiste communiste Il 94 (Carrare, 1911-1920) dont le gérant était Giuseppe Rosi. Il avait été également à l’origine au début des années 1920 du slogan « Les carrières aux ouvriers » à l’époque où la grande bourgeoisie locale pactisait avec le fascisme.
Après l’occupation en mai 1922 de la Chambre du travail par les escadrons fascistes, Meschi fut obligé de se réfugier en France pour échapper aux persécutions et menaces de mort. Il s’installa d’abord comme maçon à Alençon puis en région parisienne où il allait travailler comme maçon. Très lié à Ugo Treni, il adhéra comme lui à l’Union anarchiste tout en restant très actif dans le mouvement italien. Il était membre du groupe Pietro Gori et aurait été le fondateur d’une série du journal Il Momento. Il fut également le directeur de La Voce del profugo (Paris, 8 numéros, juin 1923- janvier 1924) dont le gérant était Émile Koch puis de L’Agitazione (Paris, 3 numéros de mai à octobre 1926) géré par Georges Courtinat ainsi qu’au numéro unique de Polemiche Nostre (Paris, 22 août 1925) dont le gérant était Victor Cailes.
Après l’assassinat par les fascistes de Giacomo Matteotin le groupe Pietro Gori fut à l’origine de la constitution en 1924 du Comité antifasciste italien de Paris dont les représentants anarchistes étaient Meschi, E. Abate, A. Borghi et U. Fedeli. Meschi collabora alors à Campane a stormo (Paris, 2 numéros en septembre et octobre 1924) qui était l’organe du Comité. d’action.
En 1925-1926 i participa au complot catalaniste de Francisco Macia, ainsi qu’aux légions garibaldiennes de Ricciotti Garibaldi qui était en fait un agent au service de Mussolini. Au début des années 1930 il continuait d’être actif dans l’émigration antifasciste et participait à la fondation de la section italienne de la Ligue des droits de l’homme (LIDU).
Dès le coup d’État franquiste de juillet 1936, il partait pour l’Espagne et s’intégrait à la section italienne de la Colonne Ascaso. Tombé rapidement malade il était rapatrié en France d’où il allait collaborer à Guerra di classe publié à Barcelone par Camillo Berneri. Il collaborait également au numéro unique de La societa nova(Paris, 26 mai 1937) publié après l’assassinat à Barcelone de Barbieri et de Berneri lors des affrontements avec les staliniens. En 1938 il retournait en Espagne et ne revenait en France que lors de la Retirada.
En 1940, il fut arrêté par les autorités françaises et interné avec plusieurs autres camarades italiens au camp de Noé (Haute-Garonne) dont il ne sera libéré qu’à la fin 1943.
Dès la chute du régime fasciste en Italie il retournait à Carrare libérée par les unités de partisans anarchistes et où le 1er décembre 1945 il faisait paraître le premier numéro d’une nouvelle série de Il Cavatore. Nommé secrétaire de la chambre du travail, il le resta jusqu’en avril 1947 où la chambre fut conquise par une coalition socialo-communiste. Néanmoins Meschi continua de publier Il Cavatore et milita à la Fédération anarchiste italienne (FAI).
Après son décès à Carrare le 11 décembre 1958, une souscription populaire fut ouverte permettant l’érection sur une place de la ville d’un monument en marbre dédié à son action en faveur des ouvriers et qui fut inauguré en mai 1965.